Per agevolare lo studio della logica, si consideri una proposizione come un enunciato assertorio, cioè che asserisce qualcosa (dunque un comando, per esempio, non sarebbe propriamente una proposizione); ovvero una proposizione è un enunciato che può essere vero o falso (tertium non datur). Qui possiamo evocare il principio del terzo escluso, formulato nella Metafisica di Aristotele, e formalizzabile in:

ovvero il valore di verità di una proposizione è sempre opposto al valore di verità della propria proposizione contraddittoria, cioè non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere. Il principio del terzo escluso differisce da quello di bivalenza che recita che una proposizione o è vera o è falsa, dacché nel principio del terzo a priori non si può escludere che siano, le proposizioni, entrambe non vere.

Nell’antichità, inoltre, si è stabilito che le proposizioni sono composte di soggetto e predicato e hanno delle relazioni, possiamo inferire, dedurre una proposizione da altre; così comprendiamo che la logica consiste nello studio delle regole che condizionano la correttezza, la validità, delle inferenze fra le proposizioni.
Si prenda in esame il celeberrimo sillogismo: Tutti gli uomini sono mortali, Socrate è un uomo, Socrate è mortale ovvero: Tutti gli uomini sono mortali (premessa maggiore), Socrate è un uomo (premessa minore), Socrate è mortale (conclusione); si comprende che se le premesse sono vere, necessariamente, lo sarà la conclusione. I sillogismi, intuitivamente, possiamo tradurli con la teoria degli insiemi; oltre che con un altro genere di inferenza, quella di matrice storica: Se Socrate è un uomo, allora è mortale; ma Socrate è un uomo, dunque è mortale. ovvero Se p, allora q; ma p; dunque q. Dunque il sillogismo e la logica stoica sono complementari, se non altro perché hanno sempre a che fare con soggetto e predicato.
La proposizione Einstein ha formulata la teoria della relatività generale e la proposizione la teoria della relatività generale è stata formulata da Einstein sono differenti, differiscono i soggetti e i predicati; eppure da un punto di vista delle inferenze, ogni possibile procedimento logico della prima proposizione sarà il medesimo per la seconda proposizione: entrambe «dicono la stessa cosa». Qui si colloca Frege, uno dei più importanti logici di tutti tempi e matematico, e proprio grazie alla matematica egli concepirà la proposizione non più come composta da soggetto e predicato, ma come una funzione, una funzione che come tale ha un argomento, f(x). Ovvero prendiamo la proposizione Parigi è la capitale della Francia, e poniamo l’incognita x in luogo di Parigi; si avrà x è la capitale della Francia, cioè il valore di x rappresentato dall’intera espressione, varierà in dipendenza del termine che di in volta in volta sostituirà la variabile x, ad esempio ponendo Roma, l’enunciato sarà errato ‒ unica condizione affinché l’espressione abbia senso è che x sia una città, o meglio per ogni argomento dato il valore della funzione x è la capitale della Francia è una città. Così la soluzione della funzione x è capitale della Francia, è Parigi. Si può generalizzare maggiormente: x è la capitale di y, uniche condizioni è che x sia una città e y una nazione; il valore della funzione denotata da x è la capitale di y per ogni argomento deve essere dato del genere appropriato, rispettivamente x (città) e y (nazioni).
Aggiungiamo un tassello: Roma è la capitale d’Italia e l’Italia ha come capitale Roma, sono la medesima funzione, o meglio, presentano i medesimi valori per le incognite x e y: sono espressioni di x e y che presentano lo stesso risultato. Vi sono altre complicazioni: errare humanum est, perseverare autem diabolicum e commettere errori è umano, ma perseverare è diabolico, sono due differenti frasi, in due diverse lingue, ma presentano il medesimo significato, pertanto non sono considerabili come proposizioni diverse. Infine, una proposizione è tale rispetto al proprio significato, non di certo rispetto ai modi visivi, uditivi o percettivi in cui viene espressa: quello che è scritto, nel foglio di carta, non è mai una proposizione, ma una traccia, che, come tale, rimanda al significato effettivo della proposizione.
Di regola, la funzione ha valore diverso a seconda degli argomenti, e avrà un valore determinato quando saranno saturate le variabili per argomenti. Approfondendo, la capitale di x è l’espressione di una funzione che ha come valore Berlino quando Germania è posta come argomento. La capitale della Gran Bretagna è Londa è il significato derivante dall’aver saturato proprio la funzione x è la capitale della Gran Bretagna. Frege estese la nozione di funzione sia alle equazione sia alle espressioni numeriche (sia, per esempio, a x=2, sia a x+2), estendendola anche al linguaggio ordinario, al linguaggio vero e proprio (Wittgenstein docet), così come alle espressioni scritte in notazione matematica. Frege cita la funzione x conquistò y, con come argomenti Cesare e Gallia (cfr. Funktion und Begriff, Jena 1891).
Le espressioni insature, che denotano le funzioni, possono essere definite come predicati ‒ il termine ora è impiegato in un senso logico, non grammaticale. Noi stiamo parlando dell’Ideografica, dell’opera Begriffsschrift (1879, traducibile come Scrittura per concetti), ovvero della formalizzazione del linguaggio ordinario sul modello dell’aritmetica. Opera, per quanto concerne la logica, rivoluzionaria e fondamentale  i cui assunti li stiamo tratteggiando.
Nello studio della logica, a partire dall’analisi o meno della complessità interna delle proposizioni, si ha il calcolo proposizionale, nel qual caso non venga considerata, e il calcolo dei predicati o calcolo funzionale, nel qual caso sia considerata; ovvero nel qual caso si studi come a partire dalle loro parti elementari le proposizioni siano costruite. Nel calcolo proposizionale, nella versione formalizzata, avremo due specie di simboli: le variabili, che stanno in luogo delle proposizioni, che abbiamo visto essere gli argomenti delle funzioni stesse analizzate, e le costanti, corrispondenti a congiunzioni, che permettono di costruire proposizioni complesse a partire da proposizioni semplici, oltre che al segno di negazione che forma, data qualsiasi proposizione, la proposizione contraddittoria.
Pur essendo un branco della logica, il calcolo proposizionale permette di formalizzare molteplici esempi, molte argomentazioni: la torta o l’ha mangiata la mamma, o l’ha mangiata il suo bambino; il bambino non l’ha mangiata dunque l’ha mangiata la mamma ovvero se o p oppure q, e non q, allora p. Tutto ciò non ha nulla a che vedere con la torta o con la mamma o il bambino, ma consiste in un ragionamento, in un’inferenza i cui «protagonisti» sono i connettivi logici o, oppure, se … allora, non (quest’ultimo agendo su di una singola proposizione, potrebbe non essere considerato effettivamente un connettivo, che come tale connette). Prendiamo un altro esempio: se gli uccelli possono volare, allora gli uccelli hanno le ali; ma gli uccelli possono volare; dunque gli uccelli hanno le ali; ovvero se p, allora q; ma p; dunque q. L’unica condizione da tener a mente è che, «logicamente», per ogni p e per ogni q si sostituisca la medesima proposizione, ed è importante sottolineare che non è necessario che le proposizioni, p e q, abbiano il soggetto o il predicato in comune ‒ come, invece, avveniva nel sillogismo. Per ogni argomentazione valida del tipo A, B, dunque C, si ha una corrispettiva verità logica: se A e B, allora C.

Sempre dai Funktion und Begriff:

Ora affermo: “il valore della nostra funzione è un valore di verità” e distinguo il valore di verità del vero dal valore di verità del falso. Chiamo il primo il Vero; e secondo il Falso. Di conseguenza, ad esempio, “2²=4” sta per il Vero, il che equivale a dire: “2²” sta per 4. “2²=1”, invece, sta per il Falso.

Frege ordinò la logica proposizionale non curando direttamente le argomentazioni di questo ambito, ma le verità logiche ovvero le inferenze valide: costituendo quasi un sistema, come quello di Euclide, assiomatico che contenesse tutte le verità della logica, avente così un piccolo gruppo di assiomi (ovvero di postulati).
La verità o la falsità di un’equazione, Frege la definì come il valore di verità, considerato come il valore che la funzione assume per diversi argomenti; il valore che la funzione x compose l’ouverture “1812” assume per i vari valori è sempre un valore di verità; Beethoven compose l’ouverture “1812” è falsa, Čajkovskij compose l’ouverture “1812” è vera. Il lettore potrebbe chiedersi il senso di tutto questo, «semplicemente» questi procedimenti sono più rigorosi e hanno un’applicazione più ampia rispetto alla logica basata esclusivamente sul sillogismo aristotelico.